Les quatre phénomènes ondulatoires étudiés dans ce chapitre :
Atténuation — diminution de l'intensité sonore avec la distance.
Diffraction — changement de direction de propagation à la rencontre d'un obstacle ou d'une ouverture.
Interférences — superposition de deux ondes cohérentes.
Effet Doppler — modification de la fréquence perçue due au mouvement de la source.
Applications : sirène de véhicule d'urgence, casque à réduction active de bruit, décomposition de la lumière par un disque compact, expansion de l'Univers.
Bonjour … nous entamons aujourd'hui le chapitre consacré aux ondes. Vous avez déjà étudié les ondes mécaniques progressives en classe de première. L'objectif de cette séance est d'analyser les phénomènes qui se produisent lorsqu'une onde rencontre un obstacle, lorsque deux ondes se superposent, ou lorsque la source est en mouvement. Ces phénomènes concernent des situations que vous connaissez déjà : la variation de la hauteur du son d'une sirène en mouvement, le fonctionnement des casques à réduction active de bruit. [curious] Nous les étudierons ici d'un point de vue physique, afin de comprendre pourquoi ces effets se produisent. Nous aborderons quatre phénomènes : l'atténuation, la diffraction, les interférences et l'effet Doppler. Ils constituent le programme du chapitre, et ils expliquent en quoi l'onde se distingue d'un simple objet en mouvement. Le point de départ est le suivant : une onde transporte de l'énergie et de l'information, mais NE transporte PAS de matière...
Grandeur
Symbole
Unité
Définition
Période
$T$
s
temps pour répéter exactement le même mouvement
Fréquence
$\nu$
Hz
nombre de périodes par seconde
Longueur d'onde
$\lambda$
m
distance sur laquelle l'onde se répète spatialement
Célérité
$c$
m·s⁻¹
vitesse de propagation
$$\nu = \frac{1}{T} \qquad c = \lambda \times \nu$$
Onde progressive sinusoïdale — élongation en fonction du temps en un point $M$.
À retenir
$c = \lambda \times \nu$ est la relation fondamentale du chapitre. Elle intervient dans les développements consacrés à la diffraction, aux interférences et à l'effet Doppler.
Avant d'aborder les phénomènes, rappelons les grandeurs caractéristiques d'une onde périodique, sur lesquelles reposent l'ensemble des développements de cette séance. La première est la période T, exprimée en secondes : c'est le temps écoulé entre deux occurrences successives du même état du phénomène. La seconde est la fréquence, notée nu — il s'agit de la lettre grecque nu, à ne pas confondre avec le v latin — : c'est le nombre de périodes par seconde, exprimé en hertz, et elle vaut l'inverse de la période. La troisième est la longueur d'onde, notée lambda : c'est la distance sur laquelle l'onde se répète spatialement, exprimée en mètres. La quatrième est la célérité c : c'est la vitesse de propagation de l'onde. Ces grandeurs sont reliées par une seule relation, que vous DEVEZ connaître, "c" est égal à "lambda" fois "nu". Elle sera utilisée dans l'ensemble des sections du chapitre, notamment pour la diffraction et pour l'effet Doppler. Signalons enfin que nous nous limiterons aux ondes périodiques, et plus précisément aux ondes sinusoïdales : c'est le cas d'un son pur, émis par un diapason, ou de la lumière émise par un laser...
Le son est une onde mécanique progressive : il se propage de proche en proche dans un milieu matériel (air, eau, acier). Pas de son dans le vide.
Intensité sonore $I$ : énergie transportée par l'onde par seconde et par mètre carré. Fonction croissante de l'amplitude. Unité : W·m⁻².
$$L = 10 \times \log\left(\frac{I}{I_0}\right) \qquad L \text{ en dB ; } I \text{ et } I_0 \text{ en W}\cdot\text{m}^{-2}$$
Pourquoi une échelle logarithmique ? L'oreille perçoit des intensités de $10^{-12}$ à $1$ W·m⁻² : douze ordres de grandeur. Le logarithme comprime cette plage en 0 à 120 dB.
Situation
Niveau
Seuil d'audibilité
0 dB
Chuchotement
30 dB
Conversation
60 dB
Seuil de risque auditif (réglementation)
85 dB
Concert de rock
120 dB
Seuil de la douleur
≈ 140 dB
Point de vigilance
0 dB ne correspond pas au silence. C'est le niveau du son le plus faible perçu par l'oreille humaine.
Nous abordons le premier phénomène, l'atténuation, en commençant par l'intensité sonore. Le son est une onde mécanique progressive : il nécessite un milieu matériel pour se propager, tel que l'air, l'eau ou l'acier ; il ne se propage pas dans le vide. L'intensité sonore, notée I, est l'énergie transportée par l'onde par unité de temps et par unité de surface ; elle est une fonction croissante de l'amplitude de l'onde. Son unité est le watt par mètre carré. L'oreille humaine perçoit des intensités comprises entre environ un picowatt par mètre carré, correspondant au seuil d'audibilité, et un watt par mètre carré, correspondant au seuil de la douleur. L'échelle n'est pas du tout adaptée, car on obtient des valeurs numériques très petites … on définit alors, pour simplifier, le niveau d'intensité sonore, noté L, exprimé en décibels. La relation est donnée à l'écran : L est égal à dix fois le logarithme décimal du rapport I sur I zéro, où I zéro est l'intensité de référence, soit l'intensité au seuil d'audibilité. La fonction logarithmique comprime les douze ordres de grandeur en une plage de zéro à cent vingt décibels. [sighs] Il convient de souligner que zéro décibel ne correspond PAS au silence : c'est le niveau du son le plus faible perçu par l'oreille humaine. À titre d'ordres de grandeur : un chuchotement correspond à trente décibels, une conversation courante à soixante décibels, le seuil de risque auditif fixé par la réglementation à quatre-vingt-cinq décibels, et un concert de rock à cent vingt décibels. La relation du niveau d'intensité sonore figure au programme ; elle sera attendue à l'examen...
Deux mécanismes, à ne pas confondre :
1. Atténuation géométrique — liée à l'éloignement, indépendante du milieu.
Source ponctuelle émettant une puissance $P_{\text{source}}$ : l'énergie se répartit sur des sphères de rayon croissant.
Atténuation géométrique : la même puissance $P$ se répartit sur des sphères de plus en plus grandes — l'intensité passe de $I$ à $I/4$ à $2r$, et $I/9$ à $3r$.
Doubler la distance → on perd $20\log(2) \approx 6$ dB.
2. Atténuation par absorption — liée au milieu.
Chocs entre molécules : énergie sonore → énergie thermique.
Dépend de la fréquence : plus le son est aigu, plus il est absorbé.
Conséquence : sur de longues distances, on entend les graves avant les aigus.
À retenir
L'atténuation géométrique existe même dans un milieu parfait ; l'absorption, elle, dépend du milieu et de la fréquence.
Nous traitons ensuite la question suivante : [curious] pourquoi l'intensité sonore diminue-t-elle lorsque l'on s'éloigne de la source ? Deux mécanismes distincts interviennent, et il convient de les distinguer, car cette distinction FAIT l'objet de questions à l'examen. Le premier mécanisme est l'atténuation géométrique, qui est indépendante du milieu de propagation. Considérons une source ponctuelle émettant une puissance P. L'énergie se propage dans toutes les directions et se répartit à la surface de sphères de rayon croissant. À un mètre de la source, la surface considérée est celle d'une sphère de rayon un mètre ; à dix mètres, la surface est cent fois plus grande. L'énergie étant la même, l'intensité, qui est la puissance par unité de surface, diminue. Comme la surface d'une sphère est égale à quatre pi r carré, on obtient la relation I de r est égal à P divisé par quatre pi r carré. En décibels, cette relation s'écrit : L de r est égal à L source, moins dix fois le logarithme de quatre pi, moins vingt fois le logarithme de r. Une conséquence immédiate : lorsque la distance est doublée, le niveau diminue de vingt fois le logarithme de deux, soit environ six décibels. Le second mécanisme est l'atténuation par absorption, qui est liée au milieu de propagation. Les molécules du milieu entrent en collision les unes avec les autres et transforment une partie de l'énergie sonore en énergie thermique ; l'onde parvient alors à l'observateur avec moins d'énergie. Le point essentiel est que cette absorption dépend de la fréquence : les fréquences élevées sont plus fortement absorbées que les fréquences basses. C'est pourquoi, à grande distance, les composantes graves d'un son perçu persistent alors que les composantes aiguës disparaissent.
Énoncé
On place des sonomètres à différentes distances d'un haut-parleur. $I_0 = 1{,}0 \times 10^{-12}$ W·m⁻².
a. L'intensité sonore mesurée est $I = 7{,}9 \times 10^{-9}$ W·m⁻². Calculer $L$.
b. Le niveau sonore est $L_{\text{source}} = 50$ dB. Calculer $L$ à $r = 200$ cm.
c. Un sonomètre mesure $L = 27$ dB. En déduire $I$.
Convertir les longueurs en mètres avant de calculer. $\log$ et $10^x$ sont fonctions réciproques. Le résultat est donné avec le nombre de chiffres significatifs approprié.
Nous présentons maintenant une méthode de calcul du niveau d'intensité sonore, du type de celles qui sont proposées à l'examen. On dispose d'un haut-parleur, et l'intensité sonore est mesurée par des sonomètres placés à différentes distances. Première question : l'intensité sonore mesurée est égale à sept virgule neuf fois dix puissance moins neuf watts par mètre carré. On demande le niveau d'intensité sonore. On applique la relation de définition : L est égal à dix fois le logarithme de I sur I zéro. On remplace par les valeurs numériques : dix fois le logarithme du rapport de sept virgule neuf fois dix puissance moins neuf par un fois dix puissance moins douze. Ce rapport est égal à sept mille neuf cents ; son logarithme est environ trois virgule neuf ; L est donc environ trente-neuf décibels, arrondi à deux chiffres significatifs. Deuxième question : le niveau sonore à la source est de cinquante décibels ; on demande le niveau à une distance de deux cents centimètres. La première opération consiste à exprimer la distance en mètres : deux cents centimètres sont égaux à deux mètres. On applique ensuite la relation de l'atténuation géométrique : cinquante, moins dix fois le logarithme de quatre pi, moins vingt fois le logarithme de deux. Le terme dix fois le logarithme de quatre pi est environ onze ; le terme vingt fois le logarithme de deux est environ six. On obtient cinquante, moins onze, moins six, soit trente-trois décibels. Troisième question : on donne le niveau, égal à vingt-sept décibels, et on demande l'intensité correspondante. On inverse alors la relation de définition : L est égal à dix fois le logarithme de I sur I zéro ; le logarithme de I sur I zéro est donc égal à L divisé par dix ; I sur I zéro est égal à dix puissance L sur dix ; et I est égal à I zéro fois dix puissance L sur dix. On remplace : un fois dix puissance moins douze, fois dix puissance deux virgule sept, ce qui donne cinq virgule zéro fois dix puissance moins dix watts par mètre carré. Deux points de méthode sont à retenir : les fonctions logarithme et dix puissance sont réciproques ; et toutes les longueurs doivent être exprimées en mètres avant le calcul.
Définition
La diffraction est le changement de direction de propagation d'une onde lorsqu'elle rencontre un obstacle ou une ouverture.
Condition d'observation : la dimension $a$ de l'ouverture ou de l'obstacle doit être de l'ordre de, ou inférieure à, la longueur d'onde : $a \lesssim \lambda$
Bassin d'ondes : une onde de longueur d'onde $\lambda$ rencontre une digue comportant une ouverture de dimension $a$. Si $a \lesssim \lambda$, l'onde s'épanouit en demi-cercle derrière la digue ; si $a \gg \lambda$, la propagation reste sensiblement rectiligne.
Diffraction d'un faisceau laser par une fente fine : tache centrale large, taches secondaires, zones d'extinction.
Diffraction d'un faisceau laser par une fente fine (onde monochromatique de longueur d'onde $\lambda$, fente de largeur $a$) :
Sur l'écran : tache centrale large + taches secondaires + zones d'extinction (figure de diffraction).
La figure est perpendiculaire à l'axe de la fente.
Écart angulaire : $\theta$ = angle entre le centre de la tache centrale et la première extinction.
$$\theta = \frac{\lambda}{a} \qquad \theta \text{ en rad ; } \lambda, a \text{ en m}$$
À retenir
Plus la fente est fine, plus la diffraction est importante. La diffraction est observable si $a \lesssim \lambda$.
Nous abordons le deuxième phénomène, la diffraction. La diffraction est le changement de direction de propagation d'une onde lorsqu'elle rencontre un obstacle ou une ouverture. La condition d'observation, qui constitue une définition à connaître, est la suivante : la diffraction est OBSERVABLE lorsque la dimension de l'ouverture ou de l'obstacle est de l'ordre de la longueur d'onde, ou inférieure à celle-ci, c'est-à-dire lorsque a est inférieur ou égal à lambda. Cette condition explique un phénomène que vous observez couramment : la longueur d'onde du son audible est de l'ordre du centimètre à celle du mètre, ce qui est comparable à la dimension d'une porte ; le son se diffracte donc et reste audible de part et d'autre d'une porte entrouverte. La longueur d'onde de la lumière visible, de l'ordre du millième de millimètre, est très inférieure à cette dimension ; la lumière ne se diffracte pas de façon sensible dans ces conditions, et la salle reste dans l'ombre [laughs]. Considérons maintenant le bassin d'ondes : une onde plane atteint une digue comportant une ouverture de dimension a. Si a est de l'ordre de lambda, l'onde se propage derrière la digue en s'épanouissant en demi-cercle ; si a est très supérieure à lambda, la propagation demeure sensiblement rectiligne. Examinons ensuite le cas lumineux : un faisceau laser monochromatique traverse une fente fine de largeur a. Sur l'écran situé en aval, on n'observe pas une tache fine, mais une tache centrale large, entourée de taches secondaires plus faibles, séparées par des zones d'extinction : c'est la figure de diffraction. Elle est orientée perpendiculairement à l'axe de la fente. Pour la caractériser, on définit l'écart angulaire theta : c'est l'angle formé par le centre de la tache centrale et la première extinction. Cette définition, qui précise ce que l'on entend par centre et par première extinction, est susceptible de faire l'objet d'une question à l'examen. L'écart angulaire est donné par la relation theta est égal à lambda sur a. On en déduit que plus la fente est étroite, plus la diffraction est importante.
Énoncé
On éclaire une fente de largeur $a = 32{,}5$ μm avec un laser. Sur l'écran situé à $D = 2{,}00$ m, la tache centrale mesure $L = 8{,}60$ cm. Déterminer $\lambda$.
Résolution
a. Dans le triangle rectangle, $\tan\theta = \dfrac{L/2}{D}$, et pour les petits angles $\tan\theta \approx \theta$, donc :
$$\theta = \frac{L}{2D}$$
b. On identifie les deux expressions de $\theta$ :
→ longueur d'onde rouge, cohérente avec un laser rouge.
Méthode
Une même grandeur $\theta$ est exprimée de deux façons (une physique, une géométrique) ; on les égalise, puis on isole l'inconnue. Toutes les longueurs sont exprimées en mètres.
Nous présentons une application de la diffraction à la mesure de la longueur d'onde d'un laser. On éclaire une fente de largeur a égale à trente-deux virgule cinq micromètres, avec un laser ; l'écran est situé à D égale à deux mètres. La largeur de la tache centrale, mesurée sur l'écran, est L égale à huit virgule soixante centimètres. La longueur d'onde du laser est inférieure au dixième de millimètre ; elle ne peut donc PAS être mesurée directement. La méthode repose sur l'égalité de deux expressions de la grandeur theta. La première est physique : theta est égal à lambda sur a. La seconde est géométrique : dans le triangle formé par la fente et l'écran, la tangente de theta est égale au rapport du côté opposé au côté adjacent, soit L sur deux divisé par D. Comme theta est un angle petit, exprimé en radians, la tangente de theta est approximativement égale à theta ; on en déduit theta est égal à L sur deux D. On égalise les deux expressions : L sur deux D est égal à lambda sur a ; on isole lambda : lambda est égal à L fois a, divisé par deux fois D. On exprime toutes les grandeurs en mètres : L est égal à huit virgule soixante fois dix puissance moins deux ; a est égal à trente-deux virgule cinq fois dix puissance moins six. Le calcul donne lambda égal à six virgule neuf-neuf fois dix puissance moins sept mètres, soit environ sept cents nanomètres. Cette valeur, située à la limite rouge du spectre visible, est cohérente avec un laser rouge ; la mesure est donc fiable. La démarche générale est la suivante : exprimer une même grandeur de deux façons, l'une physique, l'autre géométrique, puis égaliser et isoler l'inconnue.
Superposition : quand deux ondes se croisent, leurs déplacements s'additionnent.
Crête sur crête → interférences constructives (frange brillante, crête renforcée).
Crête sur creux → interférences destructives (frange sombre, plat).
Condition : la cohérence
Deux ondes sont cohérentes si elles sont sinusoïdales, si leurs fréquences sont égales et si leur déphasage est constant au cours du temps.
Expérience de Young (lumière monochromatique traversant deux fentes fines verticales, écartement $a$) :
Les deux fentes sont éclairées par la même source → les deux ondes issues sont cohérentes.
Sur l'écran : bandes verticales alternativement sombres et brillantes (franges), et non un éclairage uniforme.
Interfrange : distance $i$ entre deux franges brillantes (ou sombres) successives.
$$i = \frac{\lambda \times D}{a} \qquad i, \lambda, D, a \text{ en mètres}$$
À retenir
La superposition de deux ondes lumineuses peut produire une extinction. Plus $\lambda$ ou $D$ est grand, plus les franges sont écartées ; plus $a$ est grand, plus elles sont serrées.
Nous abordons le troisième phénomène, les interférences. Le principe en est le suivant : lorsque deux ondes se superposent en un même point, leurs déplacements s'additionnent. En chaque point, le déplacement résultant est la somme des deux déplacements. Si deux crêtes arrivent simultanément, le déplacement résultant est renforcé : on parle d'interférences constructives. Si une crête arrive en même temps qu'un creux, les deux ondes s'annulent : on parle d'interférences destructives. Une condition est toutefois nécessaire, et elle constitue un mot-clé du programme : les deux ondes doivent être COHÉRENTES. Deux ondes sont cohérentes si elles sont sinusoïdales, si elles sont de même fréquence, et si leur déphasage est constant au cours du temps. Si cette condition n'est pas satisfaite, la position des franges varie trop rapidement pour être observée. L'expérience de Young satisfait à cette condition : une lumière monochromatique, c'est-à-dire d'une seule longueur d'onde, éclaire deux fentes fines. Les deux fentes étant éclairées par la même source, les deux ondes qui en issues sont cohérentes. Sur l'écran, on attendrait a priori un éclairage plus intense, uniforme. Ce que l'on observe est différent : des bandes verticales alternant zones brillantes et zones sombres, appelées franges. Il convient de souligner que la superposition de deux ondes lumineuses peut ainsi produire une EXTINCTION. Pour déterminer la position des franges, on introduit la différence de marche, notée delta : c'est l'écart entre les longueurs des chemins parcourus par les deux ondes jusqu'au point considéré de l'écran, delta est égal à S un M moins S deux M. Si delta est un multiple entier de lambda, les deux ondes arrivent en phase : la frange est brillante, les interférences sont constructives. Si delta est un multiple demi-entier de lambda, les deux ondes arrivent en opposition de phase : la frange est sombre, les interférences sont destructives. La grandeur qui caractérise la figure est l'interfrange i, c'est-à-dire la distance entre deux franges brillantes, ou sombres, successives. Il est donné par la relation i est égal à lambda D sur a. Les franges sont donc d'autant plus écartées que lambda ou D est grand, et d'autant plus serrées que l'écartement a est grand.
Énoncé
Expérience de Young : $a = 200$ μm, $D = 40{,}0$ cm, interfrange mesuré $i = 0{,}875$ mm. Déterminer $\lambda$.
Résolution
a. Expression de l'interfrange : $i = \dfrac{\lambda \times D}{a}$
b. On isole la longueur d'onde : $\lambda = \dfrac{i \times a}{D}$
c. Conversion en mètres : $i = 0{,}875 \times 10^{-3}$ m ; $a = 200 \times 10^{-6}$ m ; $D = 40{,}0 \times 10^{-2}$ m.
→ longueur d'onde violette, dans le visible. Cohérent.
Conseil expérimental
Pour mesurer l'interfrange, mesurer l'écart entre dix franges puis diviser par neuf espaces.
Nous appliquons la relation de l'interfrange. L'expérience de Young a été réalisée avec un écartement de fentes a égal à deux cents micromètres, une distance fentes-écran D égale à quarante virgule zéro centimètres, et l'interfrange mesuré est i égal à zéro virgule huit-sept-cinq millimètres. On demande la longueur d'onde. On reprend la relation de l'interfrange : i est égal à lambda D sur a. On isole la longueur d'onde : lambda est égal à i fois a, divisé par D. On exprime les grandeurs en mètres : i est égal à zéro virgule huit-sept-cinq fois dix puissance moins trois ; a est égal à deux cents fois dix puissance moins six ; D est égal à quarante fois dix puissance moins deux. Le calcul donne lambda égal à quatre virgule trois-huit fois dix puissance moins sept mètres, soit environ quatre cents nanomètres. Cette valeur est située dans le domaine du violet du spectre visible ; elle est donc cohérente. Un point de technique expérimentale est à retenir : pour mesurer l'interfrange avec précision, on ne mesure pas un seul interfrange, mais la distance séparant dix franges, puis on divise par NEUF, car neuf intervalles séparent dix franges. Cette démarche est celle d'une étude de document expérimental au baccalauréat.
Définition
L'effet Doppler est la modification apparente de la fréquence d'une onde, due au mouvement de la source par rapport à l'observateur.
Observateur fixe, source en mouvement rectiligne de vitesse $V_{\text{source}}$, célérité des ondes $c$, fréquence émise $\nu_{\text{source}}$ :
$$\nu_{\text{obs}} = \frac{c}{c - V_{\text{source}}} \times \nu_{\text{source}} \qquad \nu \text{ en Hz ; } c, V_{\text{source}} \text{ en m}\cdot\text{s}^{-1}$$
Convention de signe : $V_{\text{source}} > 0$ si la source se rapproche ; $V_{\text{source}} < 0$ si elle s'éloigne.
Situation
Dénominateur
Fréquence perçue
Son perçu
Source qui se rapproche
$c - V_{\text{source}} < c$
$\nu_{\text{obs}} > \nu_{\text{source}}$
plus aigu
Source qui s'éloigne
$c - V_{\text{source}} > c$
$\nu_{\text{obs}} < \nu_{\text{source}}$
plus grave
C'est un effet apparent : la source n'a pas modifié la fréquence émise ; seule la réception est modifiée.
Applications : radar des forces de l'ordre, échographie Doppler (vitesse du sang).
Nous abordons le quatrième phénomène, l'effet Doppler. Nous reprenons l'exemple de la sirène. Lorsqu'un véhicule d'urgence approche, la fréquence perçue est supérieure à la fréquence émise ; lorsque le véhicule passe, la hauteur perçue diminue BRUSQUEMENT. Le mécanisme est le suivant : la source émet des fronts d'onde à intervalles réguliers ; cette émission ne change pas. Toutefois, la source se déplace. Dans la direction du mouvement, la source se rapproche des fronts qu'elle a émis : les fronts d'onde sont comprimés, la longueur d'onde perçue est plus courte, et la fréquence perçue est plus élevée. En sens inverse, les fronts d'onde sont étalés : la longueur d'onde perçue est plus grande, et la fréquence perçue est plus basse. L'effet est apparent : la fréquence émise n'est pas modifiée ; seule la réception est modifiée. Quantitativement, pour un observateur fixe et une source en mouvement rectiligne de vitesse V source, la fréquence perçue est donnée par la relation : nu observée est égal à c sur c moins V source, fois nu source, où c est la célérité de l'onde. La convention de signe est la suivante : V source est positif lorsque la source se rapproche, négatif lorsqu'elle s'éloigne. On vérifie la cohérence de la relation : si V source est positif, le dénominateur c moins V source est inférieur à c, donc nu observée est supérieure à nu source : le son perçu est plus aigu. Si V source est négatif, le dénominateur est supérieur à c, nu observée est inférieure à nu source : le son perçu est plus grave. Deux applications sont à signaler : le radar des forces de l'ordre, qui mesure la vitesse d'un véhicule par le décalage de fréquence de l'onde réfléchie, et l'échographie Doppler, qui mesure la vitesse du sang dans les artères.
Pour une onde lumineuse : $c = \lambda \times \nu$ → $\lambda$ et $\nu$ sont inversement proportionnelles.
$\lambda$ (nm)
400
…
800
Couleur
bleu
…
rouge
Décalage vers le rouge : les raies spectrales d'une galaxie sont décalées vers les grandes longueurs d'onde.
$\lambda$ plus grand → $\nu$ plus faible → d'après Doppler, la source s'éloigne.
Hubble (1929) : toutes les galaxies sont décalées vers le rouge, et plus elles sont lointaines, plus le décalage est grand → expansion de l'Univers.
À retenir
Le spectre d'un astre est caractéristique de sa composition. Le décalage des raies donne le sens du mouvement ; l'amplitude du décalage donne la vitesse.
Nous examinons l'application de l'effet Doppler à la lumière, qui est la plus remarquable. Pour une onde lumineuse, c est égal à lambda fois nu ; la fréquence et la longueur d'onde sont donc inversement proportionnelles : si la fréquence diminue, la longueur d'onde augmente. Dans le spectre visible, les longueurs d'onde courtes, de l'ordre de quatre cents nanomètres, correspondent au bleu, et les longueurs d'onde longues, de l'ordre de huit cents nanomètres, correspondent au rouge. En dix-neuf vingt-neuf, Hubble a comparé les spectres de nombreuses galaxies aux spectres de référence obtenus en laboratoire, pour les mêmes éléments. Il a constaté que les raies spectrales étaient systématiquement décalées vers les grandes longueurs d'onde : on parle de décalage vers le rouge. D'après l'effet Doppler, un décalage vers le rouge indique que la fréquence perçue est inférieure à la fréquence émise : la source s'éloigne. Ce décalage a été observé pour l'ensemble des galaxies étudiées, et son amplitude croît avec la distance. [excited] Ces observations conduisent à la conclusion que l'Univers est en EXPANSION. La démarche est analogue à celle du son : on ne mesure pas directement le mouvement d'une galaxie, car son déplacement sur une année est trop faible pour être suivi … on mesure le décalage de raies spectrales caractéristiques de l'hydrogène, puis on en déduit la vitesse. Le spectre d'un astre est ainsi caractéristique de sa composition : la reconnaissance des raies permet de l'identifier, et le décalage de ces raies indique le sens du mouvement, tandis que l'amplitude du décalage donne la vitesse.
Énoncé
Un véhicule émet un son de fréquence $\nu_{\text{source}} = 280$ Hz, détecté par un microphone. $c = 340$ m·s⁻¹. L'enregistrement du signal est fourni.
a. Déterminer la fréquence perçue à partir de l'enregistrement.
b. Exprimer $V_{\text{source}}$ en fonction de $\nu_{\text{obs}}$ et $\nu_{\text{source}}$, puis la calculer.
c. Le véhicule s'éloigne-t-il ou s'approche-t-il ?
Résolution
a. Lecture graphique : $T = 4 \times 1{,}00$ ms $= 4{,}00$ ms $= 4{,}00 \times 10^{-3}$ s.
c. $V_{\text{source}} < 0$ → le véhicule s'éloigne du microphone. Cohérent : $\nu_{\text{obs}} = 250$ Hz $< \nu_{\text{source}} = 280$ Hz (son perçu plus grave).
À retenir
Le signe de $V_{\text{source}}$ contient toute l'information sur le sens du mouvement. Il convient systématiquement de le commenter.
Nous traitons un exercice type d'exploitation de l'effet Doppler. Un véhicule émet un son de fréquence nu source égale à deux cent quatre-vingts hertz ; la célérité du son est c égale à trois cent quarante mètres par seconde. Un microphone enregistre le signal, et le tracé de l'enregistrement est fourni. Première question : on détermine la fréquence perçue. On lit la période sur le graphique : une période complète correspond à quatre divisions, la division valant un milliseconde ; la période est donc T égale à quatre millisecondes, soit quatre fois dix puissance moins trois secondes. La fréquence perçue vaut l'inverse de la période : deux cent cinquante hertz. Deuxième question : on exprime la vitesse du véhicule en fonction des fréquences, puis on la calcule. On isole V source dans la relation : nu observée est égal à c sur c moins V source, fois nu source ; on obtient c moins V source est égal à c fois nu source sur nu observée ; et V source est égal à c, moins c fois nu source sur nu observée. Application numérique : trois cent quarante, moins trois cent quarante fois deux cent quatre-vingts sur deux cent cinquante. Le second terme est égal à trois cent quatre-vingts virgule huit ; V source est donc environ moins quarante et un mètres par seconde. Troisième question : on détermine si le véhicule s'éloigne ou s'approche. Le signe de la vitesse obtenue est négatif : le véhicule S'ÉLOIGNE du microphone. Le résultat est cohérent avec l'observation, puisque la fréquence perçue, deux cent cinquante hertz, est inférieure à la fréquence émise, deux cent quatre-vingts hertz, ce qui correspond à un son perçu plus grave. Il convient de commenter systématiquement le signe de la vitesse : il contient toute l'information sur le sens du mouvement.
1. Réseaux de diffraction (Fraunhofer, 1821)
Un très grand nombre de traits fins parallèles, distants d'une même distance $a$ (pas du réseau, en mm⁻¹).
Maximum de lumière pour un angle $\alpha$ vérifiant :
$$\sin(\alpha) = \frac{p \times \lambda}{a} \qquad p \in \mathbb{Z} \text{ (« ordre du spectre »)}$$
$p = 0$ : $\alpha = 0$, pas de déviation (la lumière garde sa couleur).
$p \neq 0$ : $\alpha$ dépend de $\lambda$ → chaque radiation est déviée différemment → décomposition de la lumière (spectre).
$\lambda_{\text{rouge}} > \lambda_{\text{bleu}}$ → la radiation rouge est la plus déviée.
Applications : CD (les rainures = réseau), spectromètres, spectroscopie stellaire.
2. Protection contre le bruit
Technologie
Principe
Atténuation
Casque passif
matériaux isolants (absorption)
20 à 33 dB
Casque actif
son identique en opposition de phase → interférences destructives
bruit perçu annulé
Réglementation : port de la protection obligatoire si le bruit atteint ou dépasse 85 dB.
Le casque actif repose sur l'application directe des interférences destructives ($\delta = \lambda/2$).
Nous examinons, pour conclure, deux applications. La première concerne les réseaux de diffraction. Un réseau de diffraction est constitué d'un très grand nombre de traits fins parallèles, espacés d'une distance constante a, appelée pas du réseau. La condition d'observation des maxima d'interférence est la suivante : sinus de alpha est égal à p fois lambda sur a, où p est l'ordre du spectre, un nombre entier. Pour p égal à zéro, alpha est nul : la lumière n'est pas déviée, toutes les radiations se propagent dans la même direction, et l'on observe la couleur de la source. Pour p différent de zéro, l'angle alpha dépend de lambda : chaque radiation est déviée d'un angle différent. La radiation ROUGE, de longueur d'onde plus grande, est davantage déviée que la radiation bleue ; la lumière blanche est ainsi décomposée en son spectre. C'est le principe des spectromètres et de la spectroscopie. Les rainures d'un disque compact constituent un réseau de diffraction ; c'est la cause des couleurs observées lorsqu'un disque est éclairé par la lumière du jour. La seconde application concerne la protection contre le bruit. Au-delà de quatre-vingt-cinq décibels, la réglementation impose le port d'une protection auditive. Deux technologies sont employées. Le casque passif repose sur l'absorption de l'énergie sonore par des matériaux isolants ; il atténue le niveau sonore de vingt à trente-trois décibels. Le casque à réduction active de bruit repose sur les interférences destructives : un microphone capte le bruit ambiant, et un haut-parleur émet un son d'amplitude égale et en opposition de phase ; les deux ondes s'annulent. Le principe est identique à celui des franges sombres de l'expérience de Young, soit la condition delta égal à lambda sur deux, appliqué au son.
Convertir toutes les longueurs en mètres avant de calculer.
Petits angles : $\tan\theta \approx \theta$ (en radians).
$\log$ et $10^x$ sont fonctions réciproques.
Le signe de $V_{\text{source}}$ indique le sens du mouvement.
0 dB ≠ silence.
Doubler la distance → −6 dB.
Au-delà des formules
Une onde n'est pas un objet, c'est un mécanisme de transport d'énergie. Atténuation, diffraction, interférences et effet Doppler sont les quatre façons dont ce transport se manifeste dans la réalité.
Séance suivante : la nature de la lumière — la lumière est-elle une onde ?
Nous faisons le bilan du chapitre. Les relations à connaître sont les suivantes : c est égal à lambda fois nu, pour une onde périodique ; L est égal à dix fois le logarithme de I sur I zéro, avec I zéro égal à un fois dix puissance moins douze watts par mètre carré, pour le niveau d'intensité sonore ; L de r est égal à L source, moins dix fois le logarithme de quatre pi, moins vingt fois le logarithme de r, pour l'atténuation géométrique ; theta est égal à lambda sur a, pour la diffraction ; i est égal à lambda D sur a, pour l'interfrange, avec pour conditions delta égal à k lambda pour les interférences constructives et delta égal à deux k plus un fois lambda sur deux pour les interférences destructives ; nu observée est égal à c sur c moins V source, fois nu source, pour l'effet Doppler ; et sinus de alpha est égal à p fois lambda sur a, pour le réseau de diffraction. Les points de méthode sont les suivants : convertir toutes les longueurs en mètres avant le calcul, sans exception ; utiliser l'approximation des petits angles, la tangente de theta approximativement égale à theta, en radians ; rappeler que les fonctions logarithme et dix puissance sont réciproques ; interpréter le signe de V source pour déterminer le sens du mouvement ; et noter que zéro décibel ne correspond pas au silence. Au-delà des formules, le point essentiel est le suivant : l'onde n'est PAS un objet, mais un mécanisme de transport d'énergie. L'atténuation, la diffraction, les interférences et l'effet Doppler sont les quatre manifestations de ce transport. La prochaine séance sera consacrée à la nature de la lumière : la lumière est-elle une onde ? En préparation, vous reprendrez les trois exercices de méthode du chapitre, qui couvrent l'ensemble des notions étudiées.
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Chapitre · Ondes et signaux
Les ondes
Caractérisation des phénomènes ondulatoires — atténuation, diffraction, interférences et effet Doppler.
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